[Tiberiu Tesileanu]

În primul rând, Abel, cred că pot eu să răspund la întrebarea pe care i-ai adresat-o lui Andi. Valoarea instantanee a momentului forţelor nu contează când vorbeşti despre precesie. Faptul că instantaneu momentul forţelor nu este conţinut în planul eclipticii este responsabil de o componentă a mişcării de nutaţie, şi de faptul că viteza de precesie nu este constantă pe durata unui an. Facem media pentru a scăpa de aceste componente mai complicate ale mişcării, şi a obţine în final doar mişcarea de ansamblu. Cum dependenţa variaţiei momentului cinetic de momentul forţelor este una liniară, calcularea mediei pe un an nu înseamnă nici o aproximaţie. Deci, rezultatul dedus de mine şi de Andi este că, dacă faci media axei de rotaţie pe un an, atunci această "axă medie" va efectua o precesie cu viteza unghiulară pe care ţi-am arătat-o.

Din nou, asta nu contrazice cu nimic faptul că dacă te uiţi la intervale de timp mai mici, observi şi mişcări de nutaţie. În medie, aceste mişcări se anulează, la fel cum media lui e zero pe o perioadă.

Ca să nu ne mai lamentăm inutil pe punctul banal legat de unghiurile Euler: Abel, dă-mi tu te rog ce definiţie vrei pentru unghiurile respective, şi eu o să-ţi refac calculul în sistemul respectiv de coordonate, ca să-ţi arăt că rezultatul e acelaşi.

Doar un alt comentariu pe tema asta: faptul că direcţia perpendiculară pe ecliptică este constantă nu este o presupunere legată de precesie! Este mişcarea de revoluţie cea care dictează forma şi poziţia eclipticii, şi nu am folosit-o decât pe aceasta pentru a demonstra afirmaţia mea. Cu alte cuvinte, am folosit faptul că Pământul este aproximativ sferic, şi atunci mişcarea sa în jurul Soarelui este cea a unui punct material, adică se face pe o elipsă (aproximativ cerc) constantă.

Nu fac nici o confuzie între unghiuri mici şi unghiuri nule. După ce am împărţit prin sinus de un unghi mic, am ignorat pentru că am presupus că mişcarea de nutaţie (care este determinată de derivatele lui ) este neglijabilă. Evident, această aproximaţie nu mai ţine pentru unghiuri foarte mici, decât în cazul în care este exact zero. Asta se poate întâmpla pentru anumite condiţii iniţiale, şi atunci formula pe care ai citat-o este adevarată şi pentru unghiuri mici.

În final, dacă viteza de revoluţie ar fi mult mai mică decât viteza de precesie, atunci precesia s-ar face în jurul axei care uneşte Pământul de Soare (care în acest caz ar fi aproximativ constantă).

[Andi]

Abel,
două "cărticele" bune, cu formule elevate, ar fi acestea:
Fundamentals of Astronomy - Cesare Barbieri
Physics of the Solar System - Bruno Bertotti, Paolo Farinella, David Vokrouhlicky

[Doru Dragan]

Si una mai "simpla" dar fundamentala: Jean Meeus - Astronomical Algorithms
Urmaresc cu (oarecare) interes aceasta dezbatere. E incredibil

[Andi]

Algoritmii astronomici ai lui Jean Meeus folosesc valorile pentru precesie şi nutaţie, dar noi vrem să ştim cum se obţin acele valori, precum şi întreaga explicaţie fizică a fenomenelor.

[Abel Cavaşi]

[Tiberiu Tesileanu]

[Doru Dragan]

Tin sa va contrazic (un pic) Problema cu Abel nu e ca nu stie ci ca stie si-l deranjeaza ca e asa Problema lui Abel tine mai mult de filozofie decat de fizica. Abel nu e deacord cu modele care explica miscarea unui corp ceresc in particular. Abel ar vrea o formula care sa explice miscarea oricarui corp ceresc in general. Pe Abel nu-l multumesc modelele matematice numerice care aproximeaza oricat de bine miscarea Pamantului. (L-am trimis si eu de nenumarate ori la VSOP87). Abel ar vrea o formula analitica care sa prevada in mod exact miscarea oricarei planete in jurul oricarei stele. Cred ca daca ar insista putin si i-ar aprofunda pe Bessel si Newcombe (eventual si pe Liapnov) ar putea sa dea peste asa ceva. Cu toate ca de la Liapunov in colo cred ca Abel ar avea probleme foarte mari (din nou, filozofice) pentru ca neliniaritatea si nedeterminarea nu fac parte din sistemul lui de gandire, sunt peste puterea lui de intelegere. Nu e singurul in situatia asta. Dar e printre cei deranjati de asta

[Abel Cavaşi]

[Doru Dragan]

Ce sa fac, o sa recurg din nou la wikipedia. E la momentul asta cea mai buna sinteza a cunostintelor umane. Aici se explica precesia ca fenomen:
http://en.wikipedia.org/wiki/Precession_(astronomy)#Cause
Aici se vorbeste despre modele numerice ale sistemului solar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_model_of_solar_system
Atentie mare! La paragraful intitulat Complications se spune ce complicatii mai apar care fac ca modelul sa nu poata fi complet/exhaustiv.
Te trimit din nou la VSOP87 (Variation Seculaires des Orbites Planetaires):
http://en.wikipedia.org/wiki/Variations_séculaires_des_orbites_planétaires
modelul numeric cel mai bun acceptat si adoptat de IAU (International Astronomical Union)/ IERS (nternational Earth Rotation and Reference System Service).
Daca vrei sa mergi si mai adanc iti recomand articolul unor "baieti" de la Biroul Longitudinilor (care este cel mai autorizat loc in aceasta problema):
http://adsabs.harvard.edu/abs/1994A&A...282..663S
Da jos PDF-ul si spor la citit
Sunt convins ca nu-ti va fi destul. Si stiu si de ce. Tu ai o explicatie mult mai buna. Impulsul volumic. Nimeni nu te-mpiedica sa pui pe hartie si sa trimiti materialul la Biroul Longitudinilor, sa le arati baietilor unde gresesc si sa le oferi solutia FINALA. Fiindca despre asta e vorba. Tu cauti o solutie finala. Tu uiti ca esti om si ai inceput sa te crezi DUMNEZEU. Tu crezi ca ti se cuvine sa ai explicatiile finale. Asta se numeste (cred ca vorbesc deja pe limba ta, nu ai nici o dificultate sa ma urmaresti) lipsa de smerenie. Nu mai poate fi vorba aici despre aroganta unui fizician ci despre ceva mult mai adanc. Ai vazut jocul ielelor.

[Tiberiu Tesileanu]

Abel, nu vorbesc despre un "alt moment", ci despre media momentului forţelor. Îţi reamintesc că în calculul meu nu am ignorat nici o componentă a momentului forţelor, nici a mediei acestuia, ci doar am demonstrat că media componentei normale la ecliptică este nulă, pornind de la anumite presupuneri şi aproximări.

Cât despre definiţia nutaţiei, m-ai blocat. Zi-mi tu ce înţelegi prin nutaţie dacă nu eşti de acord cu ce am zis eu.

(Apropo, Euler şi d'Alembert nu au avut nici o dispută privind explicaţia precesiei echinocţiilor; singura dispută dintre ei a fost una de întâietate, cine a venit primul cu explicaţia corectă. Altfel cei doi au dat explicaţii corecte, care dau rezultate identice; au fost doar formulate diferit.)

Ce ar face Pământul dacă mişcarea de revoluţie ar fi mult mai lentă decât e de fapt, e complet irelevant. La fel de irelevant cum ar fi să te gândeşti ce s-ar întâmpla dacă Pământul nu ar avea rotaţie proprie, sau s-ar roti foarte încet. Evident, mişcarea ar fi calitativ foarte diferită. De exemplu, un titirez pus pe masă fără să se învârtă, ar cădea imediat. Rotaţia pe care ar descri-o în cădere, apropo, s-ar face în jurul unei axe orizontale. Dacă însă faci titirezul să se învârtă suficient de repede, nu ar mai cădea, în schimb ar precesiona în jurul unei axe verticale, iar mişcarea de cădere din cazul precedent s-ar transforma într-o mişcare de nutaţie. Mişcări complet diferite, deşi e vorba de acelaşi obiect (titirezul), în acelaşi câmp de forţe (câmp gravitaţional uniform + câmpul de reacţiune de la masă). Tot ce diferă sunt condiţiile iniţiale.

Ei bine, la fel e şi cu Pământul. Mişcarea e complet, calitativ diferită dacă Pământul se învârte în jurul axei decât dacă nu s-ar învârti. Tot aşa, mişcarea e calitativ diferită dacă mişcarea de revoluţie e relativ rapidă, decât dacă nu ar fi.

Legat de variaţia sezonală a precesiei, după calculele pe care ţi le-am arătat (dacă iei derivatele energiei potenţiale înainte să faci media după ), precesia ar trebui într-adevăr să se anuleze de două ori pe an. N-am verificat exact când se anulează, dar e foarte posibil să se întâmple la echinocţii.

Nu am reuşit să găsesc pe internet măsurători detaliate ale orientării axei Pământului ca funcţie de timp --- asta probabil pentru că nu foarte mulţi oameni sunt interesaţi de aşa ceva. Te-aş sfătui să vorbeşti la vreo universitate, să scrii la vreun departament de geologie sau astronomie, şi să vezi dacă cineva poate să te îndrepte în direcţia corectă. (evident, ar fi cel mai bine să nu le spui exact de ce îţi trebuie datele, probabil nimeni nu o să te ia în serios dacă le spui)

[IACOB DUMITRU]

Natura nu gestionează valori, natura gestionează tendinţe.

[Blakut]

The precession of the equinoxes is caused by the gravitational forces of the Sun and the Moon, and to a lesser extent other bodies, on the Earth.

In popular science books, precession is often explained with the example of a spinning top. In both cases, the applied force is due to gravity. For a spinning top, this force tends to be almost parallel to the rotation axis. For the Earth, however, the applied forces of the Sun and the Moon are nearly perpendicular to the axis of rotation.

The Earth is not a perfect sphere but an oblate spheroid, with an equatorial diameter about 43 kilometers larger than its polar diameter. Because of the earth's axial tilt, during most of the year the half of this bulge that is closest to the Sun is off-center, either to the north or to the south, and the far half is off-center on the opposite side. The gravitational pull on the closer half is stronger, since gravity decreases with distance, so this creates a small torque on the Earth as the Sun pulls harder on one side of the Earth than the other. The axis of this torque is roughly perpendicular to the axis of the Earth's rotation so the axis of rotation precesses. If the Earth were a perfect sphere, there would be no precession.

Ajuta?

[Doru Dragan]

NU!!! Nu ajuta! Am discutat toate astea de mult timp (foarte) Chiar incurca Vad ca si dl Tesileanu aduce in discutie titirezul. Dupa parerea mea povestea titirezului e una din cele care-l incurca pe Abel cel mai mult. Abel cauta "masa" pe care se invarte "titirezul" Pamant si mai cauta pe cel care a invartit pentru prima data "titirezul". Cu alte cuvinte ceea ce-l incurca pe Abel sunt conditiile initiale. Abel incearca sa explice precesia doar pe baza a ceea ce se vede la momentul actual, ignorand complet conditiile initiale. "Daca Soarele are masa mult mai mare decat a Pamantului, inseamna ca Soarele e masa pe care se invarte "titirezul". Atunci de ce conul precesiei e perpendicular pe ecliptica si nu pe Soare???" Abel ignora Galaxia si conditiile initiale de formare a Sistemului Solar. Asa cred eu

[Blakut]

[Tiberiu Tesileanu]

Am văzut şi eu că Abel e încurcat de comparaţia cu titirezul, dar am încercat să-i explic mai demult care sunt diferenţele; sper că nu le-a uitat. O să recapitulez un pic aici, spre aducere aminte.

Evident, un titirez care nu stă pe o masă nu ar precesiona deoarece un câmp gravitaţional uniform nu produce nici un moment al forţei. Soarele nu poate fi considerat "masa" pe care stă Pământul pentru simplul motiv că nu există contact direct între ele. Singura interacţie e tot cea gravitaţională.

Precesia Pământului se datorează faptului că câmpul gravitaţional de la Soare nu este uniform. Dacă ar fi unifom (de exemplu, dacă Soarele ar fi la o distanţa mult mai mare faţă de Pământ), atunci precesia ar înceta. Câmpul neuniform generează un moment al forţei, care nu este analog cu cel al titirezului -- e variabil în timp (din cauza mişcării de revoluţie), şi, pe parcursul unui an, uneori tinde să [1] alinieze axa Pământului cu normala la ecliptică, alteori să o îndepărteze. Analogia cu titirezul este deci complet inutilă în prezicerea direcţiei mişcarii de precesie.

[1] ca sa nu-l încurc din nou pe Abel, aici prin "tinde să alinieze", mă refer la efectul pe care l-ar avea momentul respectiv dacă Pământul nu ar fi in rotaţie; deci mă refer strict la direcţia momentului forţei, nu la efectele pe care le-ar avea.

Ceea ce am încercat să-i explic lui Abel este că condiţiile iniţiale ale mişcării sunt esenţiale, nu pot fi ignorate şi o teorie care nu le are în vedere nu poate să prezică nimic (în general). De-aia am dat exemplul cu titirezul, în speranţa că acel exemplu mult mai familiar (şi mai uşor de încercat acasă) o să-l convingă că e absolut de aşteptat ca mişcarea Pământului să fie calitativ diferită dacă viteza de revoluţie este mult mai mare decât cea de precesie, faţă de cazul opus.